有界函數不一定有極限，比如函數y=sinx，當x趨於無窮時，極限不存在。有限個有界函數的和、差、積必有界。極限存在只是函數有界的充分條件，而非必要條件，即函數有界但函數極限不一定存在。
如果函數在某點連續，那麼在這個點附近一定有一個鄰域，這個鄰域中函數是有界的。
有界函數是設f（x）是區間E上的函數，若對於任意的x屬於E，存在常數m、M，使得m≤f（x）≤M，則稱f（x）是區間E上的有界函數。其中m稱為f（x）在區間E上的下界，M稱為f（x）在區間E上的上界。
有界函數並不一定是連續的。根據定義，ƒ在D上有上（下）界，則意味着值域ƒ（D）是一個有上（下）界的數集。根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界。
一個特例是有界數列，其中X是所有自然數所組成的集合N。由ƒ（x）=sinx所定義的函數f：R→R是有界的。當x越來越接近－1或1時，函數的值就變得越來越大。
函數的性質：
1、單調性
閉區間上的單調函數必有界。其逆命題不成立。
2、連續性
閉區間上的連續函數必有界。其逆命題不成立。
3、可積性
閉區間上的可積函數必有界。其逆命題不成立。
相關概念：
如果一個數列的項數n趨向於無窮大時，數列的極限存在，那麼就稱這個數列收斂。
而對於函數，如果一個函數的自變量趨向於X0（或∞）時，它的因變量趨向某個特定值或者趨向∞那麼就稱函數在X0（或無窮大）處有極限。
若一個數列收斂，那麼這個數列就是有界數列，若一個函數在某點處有極限，那麼這個函數在這個點處的去心領域內有界，也就是説局部有界。
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